양팔저울을 4번 이용해서 9개의 구슬 중 무게가 다른 구슬 두개를 찾으시요

무게가 다른 구슬은 다른 구슬에 비해 무거울 수도 가벼울 수도 있지만
이 두개는 서로 같은 무게 입니다.


답은 밑에...








































답이 상당히 길기 때문에 답은 안적습니다. ^^

다만 이문제는 시행착오로 풀기에는 너무 경우의 수가 많으므로
문제풀이 전략이 필요합니다. 좋은 전략만 있으면
약간 번거러울 수는 있지만 이런 종류의 문제는 거의 다 풀 수 있지요.

아래는 제가 사용하는 전략입니다.

첫째는 "답이 존재 할 수 있을까?" 생각해 봅니다.
9개중 2개가 무게가 다르다는 것은 총 72가지 경우 중 한가지 입니다.
( 구슬을 1번 부터 9번 까지 번호를 붙을 경우 1,2 이 무게가 다를 경우
1,3 번이 다를 경우, 1,4번이 다를 경우 ....
총 경우의 수는 9C2 X 2(무게가 무겁거나 가볍거나) = 72 가지)

양팔 저울은 오른쪽으로 기울거나 왼쪽으로 기울거나 수평을 유지하거나
3가지 중 하나이므로 양팔 저울을 4번 이용한다는 것은 총 3^4= 81가지 경우를
구별해 낼 수 있습니다. (최대)
만약 양팔 저울을 3번 이용할 수 없다면 27가지 경우만을 구별할 수 있기 때문에
위 문제는 풀 수 없스니다. 하지만 4번 사용할 때는 최대 81가지 경우를 구별 할 수 있으므로
위 문제는 해결 가능 할 수 있습니다.

둘째는 "저울질 마다 최악의 경우에도 첫번째 고려사항을 만족하도록 한다" 입니다.
즉 첫번째 저울질은 저울의 각 상태마다 경우의 수가 27 이하가 되도록
두번째 저울질은 저울의 각상태마다 경우의 수가 9이하가 되도록 합니다.
예를 들어 첫번째 저울질로 양팔 저울의 한쪽에는 1번을 다른 한쪽에는 2번을 저울질 할 경우
만약 저울이 수평이라면
1) 1번과 2번이 무게가 다른 구슬 (무게가 무거운 경우 가벼운 경우) : 2 가지 경우
2) 3~9에 무게가 다른 구슬이 있는 경우 : 7C2 X 2 = 42 가지 경우

총 44가지 경우이므로 남은 세번의 저울질로 구별해 낼 수 없습니다.

물론 저울이 어느 한쪽으로 기운다면
2중 하나가 무게가 다르고 (2가지 경우)
7중 하나가 무게가 다른 경우 (7가지 경우)
9가지 경우에서 무게가 무겁거나 가볍거나 이므로 총 18가지 경우 입니다.
이 경우에는 남은 세번의 저울질로 구별 가능합니다.


이런 식으로 생각하면 첫번째 저울질은 각 3개씩
올려야만 한다(평행 24 기울어짐 각 24, 총 72가지)는 것을 알 수 있습니다.
2개씩 올리거나(평행 28 기울어짐 각 22, 총 72가지)
4개씩 올릴 경우 평행하게 나오면(32가지 경우) 나머지 3회의 저울질로 구별 할 수 없습니다.

두번째 저울질은 저울의 세가지 상태에 경우의 수가 9 이하가 되도록 고심하여
저울질 방법을 구상합니다.

그래도 아쉬워 답을 적습니다. 일부분 생략했지만 핵심적인 내용은 다 있습니다.
그리고 이 답이 유일한지 아닌지는 잘 모르겠습니다.
아랭 사용된 기호의 뜻은
= : 저울이 평행
> : 좌측이 무거움
< : 우측이 무거움
그리고 숫자는 각 구슬에 붙인 번호입니다.
그리고 우측에 있는 1),2)... 은 각 경우를 계산한 것입니다.
"123 중 1 and 456 중 1 : 3X3X2 = 18 " 은 구슬 123번 중 1개가 무게가 가볍거나 무겁고
동시에 구슬 456번 중 1개가 무겁거나 가볍다는 뜻입니다.

답)

123 = 456 1) 123 중 1 and 456 중 1 : 3X3X2 = 18
2) 789 중 2 : 3 X2 = 6
총 24 가지 경우
127 = 348 1) 12 중 1 and 4 : 4 (2x2 , 무겁거나 가볍거나 )
2) 7 and 8 : 2
....
....
127>348 1) 12중 1(무거움) and 6(무거움) : 2
2) 34(가벼움) : 1
3) 789중 2 : 6
총 9가지
17 = 28 1) 34(가벼움) : 1
2) 78 (무겁거나 가볍거나) : 2
....
....

17 > 28 1) 16 무거움 : 1
2) 79 무거움 : 1
3) 89 가벼움 : 1
1 = 7 89 가벼움
1 > 7 16 무거움
1 < 7 79 무거움

17<28 : 번호 1과 2 , 7과 8을 바꿈과 같음