유한집합과 가산집합(자연수와 일대일 대응되는 집합)을 같이 다룰 때 양자를 총칭해서 기껏해야 가산집합(at most countable set)라고 합니다. 기껏해야 가산집합에 대한 성질은 무한가산집합의 성질과 동일합니다.

유리계수 다항식의 근이 되는 수(실수나 복소수)를 대수적 수(algebraic number)라 합니다.     예를 들면, 유리수 q는 x-q=0의 근이므로 대수적 수에 속하고, √5는 x2-5=0의 근이고, e2πi/n 는 xn-1=0의 근이므로 어느 것이나 대수적 수입니다. 모든 대수적 수의 집합을 K라고 놓으면 Q⊆K⊆C 입니다.

대수적이 아닌 수를 초월수(Transcendental number)라고 합니다. 초월수가 존재함을

처음발견한 사람은 1844년 Joseph Liouville(1809~1882)이었습니다. 그는 무리수를

유리수로서 근사하는 것에 관한 하나의 중요한 정리를 발견하여 그것에 근거를 두고서

실수의 임의의 구간 내에 무수히 많은 초월수가 포함되어 있음을 증명했습니다.

그 후 1873년에 자연로그의 밑 e=2.71828...의 초월성이 Hermite,  Charles(1822~1901)에 의해서, 원주율 π의 초월성이 1882년에 Lindemann, Carl Louis Ferdinand Von(1852~1939)에 의해서 증명되었습니다.

Hermite, C. "Sur la fonction exponentielle." C. R. Acad. Sci. Paris 77, 18-24, 74-79, and 226-233, 1873.

Lindemann, F. "Uber die Zahl ." Math. Ann. 20, 213-225, 1882.

e나 p등은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그리는 '작도(construction)'를 할 수 없습니다.

Gelfond's Theorem은 ab  가   a ≠0,1가 algebraic 이고  b 가 algebraic 이고 irrational 이면  초월수적이다는 것입니다.  이것은 Hilbert's problems의 17번째 partial solution 입니다. 이 정리는 Gelfond's constant  eπ  ((-1)-i =e(iπ)-i=eπ) 의 irrationality 을 알려줍니다.  Gelfond's constant -Schneider constant는  2√2 와 eπ 입니다.

Fn =22n+1 꼴의 양의 정수를 페르마의 수(Fermat number)라고 하며, Fn  이 소수일 때 Fn 을 페르마의 소수(Fermat prime)라고 합니다. 페르마의 소수는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 주어진 원에 내접하는 정 n각형을 작도하는 문제와 밀접한 관계가 있으며, 실제로 이런 정 n각형을 작도 가능한 경우는 n이 다음 조건

①n=2m (m≥2)

또는

②n=2k p1 . . . pr (k≥0, p1, ... ,pr는 페르마 소수)을 만족할 때 뿐 임이 알려져 있습니다.

1874년 칸토르는 그의 논문에서 (i)K는 가산이다. (ii) 실수의 임의의 구간은 비가산이다는 것을 밝혔습니다. 이것으로 임의의 구간 속에는 초월수가 무한개 있음은 분명합니다.

(i)K는 가산이다.

증명) 계수가 모두 정수인 대수 방정식 f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+....+an-1x+an=0 (n≥1)에 있어서 la0l+ la1l+...+lanl+n을 그 방정식의 높이라하고 h로써 나타냅니다. h는 an≠0, n≥1이므로 h≥2로 되는 자연수 입니다.

첫째로 자연수 h를 주고서 높이가 h로 되는 방정식의 개수를 보면, laili를 선정하는 방법은 기껏해야 0,±1, ±2,±3,....,±(h-1)이고 그 개수는  2h-1을 초과할 수 없습니다. 따라서an,...a0 의 선정 방법개수는  (2h-1)n+1를 초과치 않습니다. 그런데 1≤n≤h-1 이므로 높이가 h인 방정식의 개수는 (2h-1)(h-1)+1(h-1) = (2h-1)h(h-1)을 초과하지 않습니다. 한편 하나의 방정식의 근의 개수는 그 차수를 초과하지 않으므로 기껏해야 (h-1)개입니다.  따라서 높이가 h인 모든 방정식의 근의 집합을 Kn이라 하면 Kn는 유한 집합입니다. 따라서 K=∪k≥2Kh 가 대수적 전체의 집합입니다. 그러므로 K는 유한 또는 가산집합이고 유리수 전체를 포함함으로 가산집합 입니다. 대수적수는 유리수를 포함하고 다시 무리리수의 일부분을 포함하는 실수의 부분집합임에도 불구하고 자연수 N과 대등집합으로서 가산집합인 것입니다.

(ii) 실수의 임의의 구간은 비가산이다

증명) 실수의 구간[a,b]가 비가산임을 구간축소법(method of nested interval of method of deminishing interval)- 실수의 유계폐구간의 감소열 [a1,b1]⊇[a2,b2]⊇[a3,b3]⊇...를 주면 이들 모두에 공통점이 있다(즉 ∩n=1∞[an, bn]≠ φ )는 원리입니다.

이와같은 구간열에 대하여 a1≤a2≤a3≤...≤b3≤b2≤b1 이 성립하므로 수열 (an)n=1,2,3...

는 유계한 단조증가열이고 따라서 극한치를 갖습니다. lim an= α 라 두면 모든 n에 대해서 an≤α≤bn 이므로 α가 그 조건을 만족합니다 - 을 사용하여 증명합니다.

[a,b]를 가산이라 가정합니다. 그러면 [a,b]의 원소에 x1, x2, x3,...  와 같이 번호를 붙일 수 있습니다. 이 최초의 두 수 x1, x2를 택하여 대소를 비교하고 작은 것을 a1, 큰 것을

b1이라 놓습니다. x3, x4로 진행하여서 개구간(a1,b1)에 들어오는 최초의 두수를 택하여 그 대소를 비교하여 작은 쪽을 a2, 큰 쪽을 b2이라 놓습니다.  이와 같은 방법을 진행해

나가면 유계폐구간열의 감소열 [a1,b1]⊇[a2,b2]⊇[a3,b3]⊇...이 얻어집니다. 따라서

모든 [an, bn]에 포함되는 수 α가 존재합니다. α도 [a,b]의 원소이므로 최초의 가정에

의하여 번호가 붙어 있을 것입니다. α=xm 이었다 하면 위와 같은 구성에서 2n>m로 되는

n에 대해서는 xm∈/ [an, bn]이므로 모순입니다. 그러므로 [a,b]는 비가산 입니다.

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내용출처 : 현대집합론의 원리, Number theoty, 인터넷 사이트

(출처 : '초월수는 무한합니까? 증명은? e 와 파이 가 초월수라는 건 어떻게 증명하죠?' - 네이버 지식iN)